Comprendre la résolution de problèmes mathématiques

Définition d'un problème en mathématiques

Dans la théorie de l'esprit, un problème est une situation de la vie réelle, imaginée ou transformée, en situation mathématique. Un problème est donc une tâche qui n’a pas de solution immédiate.

Pour aller plus loin dans cette définition, un problème peut être défini comme une situation constituée d’informations qui peuvent être fournies sous différentes formes (matérielles, images, animation d’écran, énoncé oral ou écrit) et qui comporte un questionnement dont la résolution nécessite une recherche, une investigation et la résolution d’une ou plusieurs opérations dans un ordre prédéfini.

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Il existe différents types de problèmes :

• les problèmes additifs et multiplicatifs ;
• les situations de transformation d’état ;
• les situations de comparaison d’état ;
• les situations de composition de plusieurs transformations successives.

Il est nécessaire de prendre en compte la difficulté de résolution du problème de maths. La particularité du travail de la résolution de problèmes en maths consiste justement à se demander quelle est la situation, il n’est donc pas judicieux de faire des enchaînements de problèmes de même type (additifs, puis multiplicatifs, puis comparaison, etc.) dans la prise en charge orthophonique.

La résolution de problèmes selon Menissier 2011

La résolution d’un problème de maths nécessite de comprendre le nombre, la numération, les opérations disponibles pour le résoudre et l’organisation temporelle des données. En effet, dans certains problèmes, il y a un travail à faire concernant l’analyse du décours temporel et de la succession des événements. 

Le modèle de résolution de problèmes de maths par Alain Ménissier (2011) est le suivant :

1. la traduction du problème : avoir un minimum de connaissances sur la situation mathématique proposée et comprendre les mots et les termes de l’énoncé ;
2. l’intégration du problème : comprendre la question posée pour pouvoir la traduire en opérations ;
3. la planification des actions : organiser les opérations dans un ordre précis afin de résoudre le problème ;
4. la réalisation des calculs : connaître et appliquer les opérations nécessaires pour réaliser les calculs ;
5. l’autocontrôle des résultats : observer le résultat et s’assurer qu’il n’y a pas eu d’erreur dans la compréhension du problème, la planification des actions et la réalisation des calculs.

L’autocontrôle est important dans la résolution de problèmes des élèves en difficultés ou qui ont une dyscalculie (troubles des activités numériques). En rééducation orthophonique, l’autocontrôle permet de séparer les étapes de la résolution du problème afin de mieux cerner celles qui doivent être retravaillées.

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La théorie des modèles mentaux

La modélisation de résolution de problèmes est souvent présentée de manière analytique (comme nous l’avons fait ci-dessus) où, à partir d’une situation mathématique, la personne cherche dans son stock d’outils et de calculs, l’opération nécessaire pour répondre à la question qui est posée.

La théorie des modèles mentaux, quant à elle, suggère qu’un nombre important de situations prototypiques et représentatives d’un certain nombre de problèmes sont emmagasinées dans la mémoire à long terme. Dans cette théorie, la personne va chercher dans son stock de représentations de situations, celle qui se rapproche du problème énoncé, pour répondre à la question posée.

De ce point de vue, il y a donc deux façons de parvenir à la résolution d’un problème :

• une approche analytique où l’on cherche les opérations connues et maîtrisées pour résoudre le problème ;
• une approche analogique (théorie des modèles mentaux) où des situations préalablement emmagasinées peuvent être utilisées pour résoudre le problème.

Les aspects langagiers, temporels et pragmatiques

Il ne faut pas négliger les aspects langagiers, temporels et pragramatiques de la modélisation de résolution de problèmes, c’est-à-dire :

• le vocabulaire spécifique aux mathématiques : autant, inférieur, x fois plus, x fois moins, multiple, double, moitié, en tout… ;
• les problèmes congruents/incongruents : présence de mots dans l’énoncé qui peuvent entraîner des erreurs dans le choix des opérations ;
• les différents types de questions : sur l’état initial, sur la transformation ou sur l’état final ;
• les schémas compréhensibles : s’ils peuvent être pertinents et facilitateurs, ils peuvent aussi complexifier la situation pour les enfants qui ont des difficultés visio-spatiales.

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Ainsi, plus il y a de termes dans l’énoncé, plus la résolution du problème est difficile. De la même manière, poser la question au début du problème réduit la difficulté, plutôt que de la poser à la fin de l’énoncé.

Si des schémas sont utilisés, il est conseillé à l’enfant de les réaliser, d’une manière qui lui soit compréhensible, avec des informations qu’il comprend et qu’il puisse utiliser.

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